倭マン's BLOG

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仮面ライダービルドの話数を導く数式　第13話 ～ 第24話

仮面ライダービルド

第 { \sharp\left\{\text{archimedean solid}\right\} = } 13 話　ベールを脱ぐのは誰？
{ \sharp } は集合の要素の個数（位数）を返す関数です。　1種類の正多角形を組み立てて作られる正多面体（プラトンの立体）は正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5種類がありますが、2種類以上の正多角形を組み立てて作られる半正多面体（アルキメデスの立体 archimedean solid）は13種類あります。　半正多面体のキチンとした定義は Wikipedia など参照。　このページには立体の図も載ってるので分かりやすいです。　立体の名前だけ拝借しておきます：

  • 切頂四面体
  • 切頂六面体
  • 切頂八面体
  • 切頂十二面体
  • 切頂二重面体
  • 立方八面体
  • 二十・十二面体
  • 斜方立方八面体
  • 斜方二十・十二面体
  • 斜方切頂立方八面体
  • 斜方切頂二十・十二面体
  • 変形立方体
  • 変形十二面体

正五角形と正六角形からなる切頂二十面体はサッカーボール型として有名ですかね。

第 { \DeclareMathOperator*{argmin}{\arg\min} \displaystyle \argmin_{n:\mathrm{even}} \left[\forall x,\,\phi(x) \ne n\right] = } 14 話　偽りの仮面ライダー
うーむ。

第 { \DeclareMathOperator*{argmax}{\arg\max} \displaystyle \argmax_n \left[2^n - 7 = m^2\right] = } 15 話　桐生戦兎をジャッジしろ！
{ 2^n - 7 = m^2 } を満たす自然数 { m,\,n } の組で { n } が最大となるものは { n = 15 }。　この方程式の自然数解は

　　{ \displaystyle\begin{align*} (n,\,m) = (3,\,1),\,(4,\,3),\,(5,\,5),\,(7,\,11),\,(15,\,181) \end{align*}}

の5つしかないことが「ラマヌジャン・スコーレムの定理」として証明されています。

第 { 2 \upuparrows 3 = 2^{2^2} = } 16 話　兵器のヒーロー
{ \upuparrows } は巨大数などを扱うときによく使われる数学記号。　これを使った表記をクヌースの矢印表記と言うそうです。　定義は別に難しくないですが、ここではいくつか例を挙げるだけにしておきます：

　　{ \displaystyle\begin{align*} 2 \upuparrows 2 &= 2^2 = 4 \\ 2 \upuparrows 3 &= 2^{2^2} = 2^4 = 16 \\ 2 \upuparrows 4 &= 2^{2^{2^2}} = 2^{16} = 65536 \\[4mm] 3 \upuparrows 2 &= 3^3 = 27 \\ 3 \upuparrows 3 &= 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987 \\ 3 \upuparrows 4 &= 3^{3^{3^3}} = 3^{7625597484987} = \cdots \\ \end{align*}}

など。

第 { F_2 = 2^{2^2} + 1 = } 17 話　ライダーウォーズ開戦
ここでの { F_n } はフェルマー数 { F_n = 2^{2^n} + 1 } （ { n } は自然数）。　フェルマーはこれが全ての自然数について素数であると予想したけど、後にオイラーによって { n = 5 } の場合に反証されたとのこと。　ちなみに、フェルマー数をいくつか書き下すと

　　{ \displaystyle\begin{align*} F_0 &= 2^1 + 1 = 3 \\ F_1 &= 2^2 + 1 = 5 \\ F_2 &= 2^4 + 1 = 17 \\ F_3 &= 2^8 + 1 =257 \\ F_4 &= 2^{16} + 1 = 65537 \\ F_5 &= 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \times 6700417 \\ \end{align*}}

となります。　 { F_5 } の素因数分解を手で見つけるのは大変そうですね・・・

第 { \sharp\left\{\text{family of finite group}\right\} = } 18 話　黄金のソルジャー
有限群の族の個数は18個という式。　正しくは有限単純群の族の個数が18個で、式は

　　{ \displaystyle\begin{align*}\sharp\left\{\text{family of finite simple group}\right\} = 18\end{align*}}

となります。　有限単純群とは有限群を構成する基本要素みたいなもので、大雑把に言えば自然数にとっての素数みたいなものです。

有限単純群の族の個数が18個というのは「分類定理」で証明されています。　このリンク先の Wikipedia の記事で、「3つの無限個クラスの群」

が、族の個数としては合わせて18個となります*1。

第 { \displaystyle 7\sqrt[3]{20} - \left(\sqrt[3]{\frac{5}{3}} - \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\right)^6 = } 19 話　禁断のアイテム
この式が出てきた数学的な背景は分からないのですが、等号が成り立つことを示すのは高校レベルの数学でできるのでやってみましょう。

左辺第2項は

　　{ \displaystyle\begin{align*} \left(\sqrt[3]{\frac{5}{3}} - \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\right)^6 &= \frac{\left(\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{2}\right)^6}{9} \end{align*}}

と変形できます。　この式の分子だけを取り出して計算すると

　　{ \displaystyle\begin{align*} \left(\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{2}\right)^6 &= \sqrt[3]{5}^6 - 6\sqrt[3]{5}^5\sqrt[3]{2} + 15 \sqrt[3]{5}^4\sqrt[3]{2}^2 - 20 \sqrt[3]{5}^3\sqrt[3]{2}^3 \\ &\qquad + 15 \sqrt[3]{5}^2\sqrt[3]{2}^4 - 6\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{2}^5 + \sqrt[3]{2}^6 \\[2mm] &= 25 - 30\sqrt[3]{50} + 75\sqrt[3]{20} - 200 + 30\sqrt[3]{50} - 12\sqrt[3]{20} + 4 \\ &= -171 + 63\sqrt[3]{20} \end{align*}}

となるので、結局

　　{ \displaystyle\begin{align*} \left(\sqrt[3]{\frac{5}{3}} - \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\right)^6 &= \frac{\left(\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{2}\right)^6}{9} \\ &= -19 + 7\sqrt[3]{20} \end{align*}}

となります。　よって

　　{ \displaystyle\begin{align*} 7\sqrt[3]{20} - \left(\sqrt[3]{\frac{5}{3}} - \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\right)^6 = 19 \end{align*}}

となり、与式が示せました。

第 { e^\pi - \pi \simeq } 20 話　悪魔のトリガー
ゲルフォントの定数 { e^\pi } と円周率 { \pi } との差は

　　{ \displaystyle\begin{align*} e^\pi - \pi &= 19.99909979\dots \\ &\simeq 20 \end{align*}}

とほとんど { 20 } に等しいという式。　こういった、一見整数と無関係そうなのに、なぜか整数に近い値になる式が「ほとんど整数」という分野でいろいろ扱われています。

第 { \DeclareMathOperator*{argmin}{\arg\min} \displaystyle \argmin_n\left[\forall x \exists i \le n,\,x+i \not\in \left\{\text{harshad}\right\}\right] = } 21 話　ハザードは止まらない
うーむ。

第 { \frac{2143}{\pi^4} \simeq } 22 話　涙のビクトリー
この式は第20話で出てきた、値が「ほとんど整数」となる式

　　{ \displaystyle\begin{align*} 22\pi^4 &= 2143.000002748\dots \\ &\simeq 2143 \end{align*}}

を変形したもの。　発見したのは、かのラマヌジャンだそうで。

第 { \displaystyle \sqrt{x - 2\sqrt{x + 2\sqrt{x + 2\sqrt{x- \cdots}}}} = 1+4\sqrt{3}\;\sin20^\circ \Longrightarrow x = } 23 話　西のファントム
うーむ。

第 { \displaystyle \sum_{n=1}^N n^2 = m^2 \Longrightarrow N = } 24 話　ローグと呼ばれた男
{ N = 24 } のとき

　　{ \displaystyle\begin{align*} \sum_{n=1}^N n^2 &= \frac{1}{6}N(N+1)(2N+1) \\ &= \frac{1}{6} \times 24 \times 25 \times 49 \\ &= 70^2 \end{align*}}

となって

　　{ \displaystyle\begin{align*} 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 24^2 = 70^2 \end{align*}}

となっていることが分かります（ { m = 70 }）。　これ以外に自然数 { N,\,m } が存在しないことは証明が必要ですが。

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*1:族とは集合の集合（集合の系列）のことで、例えば上記の巡回群 C_p は各 p の値によって異なる巡回群を指しますが、それらを全てあわせて、1つの族と考えます。