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仮面ライダービルドの話数を導く数式　第25話 ～ 第36話

仮面ライダービルド

第 { (n-1)! + 1 = n^k \Longrightarrow n^k = } 25 話　アイドル覚醒

第 { \sharp \left\{\text{sporadic group}\right\} = } 26 話　裏切りのデスマッチ
第 { \sharp \left\{\text{exotic 7-sphere}\right\} = } 27 話　逆襲のヒーロー
第 { 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = } 28 話　天才がタンクでやってくる
28は6の次に小さな完全数。　完全数とは、その数の約数のうち、自身を除いたもの全ての和がその数となる自然数。　例えば6 { \left(= 2 \cdot 3\right) } の約数は 1, 2, 3, 6 なので、6以外の和は6となります。　同様に、28 { \left( = 2^2 \cdot 7\right) } の約数は1, 2, 4, 7, 14, 28なので、28以外の話は

　　{ \displaystyle\begin{align*} 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 \end{align*}}

となり、28が完全数であることが分かります。　これが表題の数式です。

28の次に小さな完全数は496。　実際、496 { \left(= 2^4\cdot 31\right) } の約数のうち、496以外の数の和は

　　{ \displaystyle\begin{align*} 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124+ 248 = 496 \end{align*}}

となって、496が完全数であることが分かります。

ちなみに、偶数の完全数は { M_p = 2^p - 1 } が素数のときの { 2^{p-1} M_p } に限ることがオイラーによって証明されているそうです。

第 { A(3,\,2) = A(2,\,A(2,\,A(2,\,1))) = } 29 話　開幕のベルが鳴る
第 { \DeclareMathOperator*{argmax}{\arg\max} \displaystyle \argmax_n \left[\left\{\text{totative of }\,n\right\} \subset \left\{\text{prime}\right\} \right] = } 30 話　パンドラボックスの真実

第 { M_5 = 2^5 - 1 = } 31 話　ほとばしれマグマ！
{ M_p = 2^p - 1 } はメルセンヌ数。　 { p } としては自然数全てを許す場合と素数に限る場合があるようです。

{ p } が合成数の場合（素数でない場合）、 { p = ab } とすると

　　{ \displaystyle\begin{align*} M_p &= 2^{ab} - 1 \\ &= (2^a - 1)\left\{2^{a(b-1)} + 2^{a(b-2)} + 2^{a(b-3)} + \cdots + 2^a + 1\right\} \end{align*}}

のように因数分解できるので { M_p } も合成数となります。　対偶をとれば「 { M_p } が素数なら { p } は素数」となります。　逆に { p } が素数でも { M_p } は素数とは限らず、例えば { M_{11} = 2047 = 23 \times 89 } のように素因数分解できるものもあります。　 { M_p } が素数となる場合は特にメルセンヌ素数と呼びます。　与式の { p = 5 } の場合はメルセンヌ素数ですね。

ちなみに、メルセンヌ数 { M_p } を2進法で表すと1が { p } 個並びます：

　　{ \displaystyle\begin{align*} M_p = (\underbrace{111 \cdots 1}_{p\,\text{個}})_2 \end{align*}}

第 { \sharp \left\{\text{crystal class}\right\} = } 32 話　プログラムされた悲劇
第 { \displaystyle \sqrt{\frac{2\sqrt{2} \pi}{9} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n!)(1103 + 26390n)}{(4^n 99^n n!)}} = } 33 話　最終兵器エボル
第 { \log_{10}\log_{10}\log_{10} Sk_1 = } 34 話　離れ離れのベストマッチ
第 { \sharp\left\{\text{nontrivial knot} \left| c(L) \le 8\right.\right] = } 35 話　破滅のタワー
第 { \left(1+2+3\right)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 = } 36 話　エボルトは星を狩る
仮面ライダービルド Blu-ray COLLECTION 3

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