倭マン's BLOG

くだらない日々の日記書いてます。 たまにプログラミング関連の記事書いてます。 書いてます。

仮面ライダービルドの話数を導く数式 第25話 ~ 第36話

 { (n-1)! + 1 = n^k \Longrightarrow n^k = } 25 話 アイドル覚醒

 { \sharp \left\{\text{sporadic group}\right\} = } 26 話 裏切りのデスマッチ
 { \sharp \left\{\text{exotic 7-sphere}\right\} = } 27 話 逆襲のヒーロー
 { 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = } 28 話 天才がタンクでやってくる
28は6の次に小さな完全数。 完全数とは、その数の約数のうち、自身を除いたもの全ての和がその数となる自然数。 例えば6  { \left(= 2 \cdot 3\right) } の約数は 1, 2, 3, 6 なので、6以外の和は6となります。 同様に、28  { \left( = 2^2 \cdot 7\right) } の約数は1, 2, 4, 7, 14, 28なので、28以外の話は

  { \displaystyle\begin{align*}
  1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
\end{align*}}

となり、28が完全数であることが分かります。 これが表題の数式です。

28の次に小さな完全数は496。 実際、496  { \left(= 2^4\cdot 31\right) } の約数のうち、496以外の数の和は

  { \displaystyle\begin{align*}
  1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124+ 248 = 496
\end{align*}}

となって、496が完全数であることが分かります。

ちなみに、偶数の完全数 { M_p = 2^p - 1 }素数のときの  { 2^{p-1} M_p } に限ることがオイラーによって証明されているそうです。

 { A(3,\,2) = A(2,\,A(2,\,A(2,\,1))) = } 29 話 開幕のベルが鳴る
 { \DeclareMathOperator*{argmax}{\arg\max} \displaystyle \argmax_n \left[\left\{\text{totative of }\,n\right\} \subset \left\{\text{prime}\right\} \right] = } 30 話 パンドラボックスの真実

 { M_5 = 2^5 - 1 = } 31 話 ほとばしれマグマ!
 { M_p = 2^p - 1 }メルセンヌ数。  { p } としては自然数全てを許す場合と素数に限る場合があるようです。

 { p }合成数の場合(素数でない場合)、 { p = ab } とすると

  { \displaystyle\begin{align*}
  M_p
    &= 2^{ab} - 1 \\
    &= (2^a - 1)\left\{2^{a(b-1)} + 2^{a(b-2)} + 2^{a(b-3)} + \cdots + 2^a + 1\right\}
\end{align*}}

のように因数分解できるので  { M_p }合成数となります。 対偶をとれば「 { M_p }素数なら  { p }素数」となります。 逆に  { p }素数でも  { M_p }素数とは限らず、例えば  { M_{11} = 2047 = 23 \times 89 } のように素因数分解できるものもあります。  { M_p }素数となる場合は特にメルセンヌ素数と呼びます。 与式の  { p = 5 } の場合はメルセンヌ素数ですね。

ちなみに、メルセンヌ数  { M_p } を2進法で表すと1が  { p } 個並びます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  M_p = (\underbrace{111 \cdots 1}_{p\,\text{個}})_2
\end{align*}}

 { \sharp \left\{\text{crystal class}\right\} = } 32 話 プログラムされた悲劇
 { \displaystyle \sqrt{\frac{2\sqrt{2} \pi}{9} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n!)(1103 + 26390n)}{(4^n 99^n n!)}} = } 33 話 最終兵器エボル
 { \log_{10}\log_{10}\log_{10} Sk_1 = } 34 話 離れ離れのベストマッチ
 { \sharp\left\{\text{nontrivial knot} \left| c(L) \le 8\right.\right] = } 35 話 破滅のタワー
 { \left(1+2+3\right)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 = } 36 話 エボルトは星を狩る
仮面ライダービルド Blu-ray COLLECTION 3

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