『Q.E.D.証明終了(31) (月刊マガジンコミックス) 眼の中の悪魔』に出てきた、ビデオに映る2次曲線の形を数式で確かめてみましょう。 高校数学で理解できます(数学B のベクトルと数学C の2次曲線の知識が必要)
問題設定
- 円周は xy-平面上(床とする)にあり、中心が原点で半径が
であるとする。 また点 P を円周上の点とする。
- 観測者(ビデオカメラ)は原点から x の正の方向に 1、高さが
の位置にあるとする。 この点を A とする。
のときの図を描くと下図のようになります:

各点の位置ベクトルは以下の通り(
解法の流れ
解法の大まかな流れは以下のようになります:
- 観測者に対する円周上の点への位置ベクトルを求める(
とする)
を「仮想スクリーン上」へ射影する(
とする)
の y, z 座標から媒介変数
を消去して、仮想スクリーン上の軌跡を求める
観測者に対する円周上の点への位置ベクトル 
求めるベクトルは、始点が A、終点が P のベクトルです:
「仮想スクリーン上」へ射影されたベクトル 
点 A に対する点 P の位置ベクトル

この変換は、
▲注意
という制限がいります。
仮想スクリーン上の軌跡
これらから媒介変数
チョット計算
(2) 式より
(2), (3) 式より
したがって
★
の場合
このとき (4) 式は以下のようになります:
のとき、
の係数が正となるので楕円
のとき、
の係数が負となるので双曲線((1) の条件より
の部分のみとなります)
★
の場合
このとき (4) 式は以下のようになります:
これは放物線になります。

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