『Q.E.D.証明終了(31) (月刊マガジンコミックス) 眼の中の悪魔』に出てきた、ビデオに映る2次曲線の形を数式で確かめてみましょう。 高校数学で理解できます(数学B のベクトルと数学C の2次曲線の知識が必要)
問題設定
- 円周は xy-平面上(床とする)にあり、中心が原点で半径が であるとする。 また点 P を円周上の点とする。
- 観測者(ビデオカメラ)は原点から x の正の方向に 1、高さが の位置にあるとする。 この点を A とする。
のときの図を描くと下図のようになります:
各点の位置ベクトルは以下の通り( は媒介変数):
解法の流れ
解法の大まかな流れは以下のようになります:
- 観測者に対する円周上の点への位置ベクトルを求める( とする)
- を「仮想スクリーン上」へ射影する( とする)
- の y, z 座標から媒介変数 を消去して、仮想スクリーン上の軌跡を求める
観測者に対する円周上の点への位置ベクトル
求めるベクトルは、始点が A、終点が P のベクトルです:
「仮想スクリーン上」へ射影されたベクトル
点 A に対する点 P の位置ベクトル を「画面上の位置ベクトル」に変えるために、観測者の前方( の負の方向)に1だけ離れた位置に仮想スクリーンを考え、そこに を射影 (projection) しましょう。
この変換は、 の 成分が -1 になるように を実数倍することで実現できます。 つまり、全成分を で割ってあげます:
▲注意
のときは、観測者の真下と後方( の正の方向)を除かなくてはいけないので、
という制限がいります。
仮想スクリーン上の軌跡
より、仮想スクリーン上の軌跡の媒介変数表示は以下のようになります:
これらから媒介変数 を消去すると仮想スクリーン上の軌跡の方程式が得られます。
チョット計算
(2) 式より
(2), (3) 式より
したがって
★ の場合
このとき (4) 式は以下のようになります:
- のとき、 の係数が正となるので楕円
- のとき、 の係数が負となるので双曲線((1) の条件より の部分のみとなります)
★ の場合
このとき (4) 式は以下のようになります:
これは放物線になります。
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